「Codeforces 1034C」Region Separation

没有思维能力了

Codeforces 1034C

题意

给你一棵 \(n\) 个点的树，有点权\(a_1,..,a_n\)，整棵树是一个1级区域

• 除非 \(i\) 是最后一个等级，否则每一个i级区域都要被分成至少两个i+1级区域

• 每个点必须恰好属于一个每种等级的区域

• 一个区域必须是连通的

• 每个相同等级的区域必须拥有相同的点权和

求有多少种不同的划分方案，模 \(10^9+7\)

\(n\le 10^6,a_i\le 10^9\)

---

做法

先考虑能不能把整棵树划分为\(k\)个2级区域

令 \(sum=\sum_{i=1}^n a_i\)

每个2级区域的权值和必然是 \(\frac{sum}{k}\)

有一种显然的判断方式，自底向上找到权值和恰好等于 \(\frac{sum}{k}\) 的子树并割开，若都能满足，则 \(k\) 是合法的

定义 \(s_i\) 表示点 \(i\) 的子树权值和，可以发现上述过程割开的点的 \(s_i\) 都是 \(\frac{sum}{k}\) 的倍数，即 \(s_i \equiv 0\pmod{\frac{sum}{k}}\)

显然 \(k\) 合法当且仅当满足 \(s_i \equiv 0\pmod{\frac{sum}{k}}\) 的点 \(i\) 恰有 \(k\) 个

并且有 \(1 \le k \le n\)

我们考虑一个点 \(i\) 会对哪些 \(k\) 产生贡献

设 \(s_i=\frac{sum}{k} * a\)，其中 \(a\) 是整数，即 \(k=\frac{sum}{s_i} * a\)

可以发现合法的 \(k\) 恰好是 \(\frac{sum}{\gcd(sum,s_i)}\) 的倍数

可以记下来之后 \(\mathcal O(n\ln n)\) 地枚举倍数处理

接下来考虑dp

令 \(f_i\) 表示最后一级分成 \(i\) 个区域的方案数

对于合法的 \(k\)，有 \(f_k=\sum_{d\mid k,d\ne k} f_d\)

预处理约数即可

总复杂度 \(\mathcal O(n(\log n + \log sum))\)

---

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<ctype.h>
#include<string.h>
#include<math.h>

using namespace std;
#define ll long long

inline char read() {
	static const int IN_LEN = 1000000;
	static char buf[IN_LEN], *s, *t;
	return (s==t?t=(s=buf)+fread(buf,1,IN_LEN,stdin),(s==t?-1:*s++):*s++);
}
template<class T>
inline void read(T &x) {
	static bool iosig;
	static char c;
	for (iosig=false, c=read(); !isdigit(c); c=read()) {
		if (c == '-') iosig=true;
		if (c == -1) return;
	}
	for (x=0; isdigit(c); c=read()) x=((x+(x<<2))<<1)+(c^'0');
	if (iosig) x=-x;
}

const int N = 1000005, P = 1000000007;
int ans, n, a[N], fa[N], f[N], g[N];
ll sum, s[N];
vector<int> d[N];
inline ll gcd(ll x, ll y){ return y?gcd(y, x%y):x;}
int main() {
	read(n);
	for(int i=1; i<=n; ++i) read(a[i]), sum+=a[i];
	for(int i=2; i<=n; ++i) read(fa[i]);
	for(int i=n; i; --i){
		s[i]+=a[i], s[fa[i]]+=s[i];
		ll x=sum/gcd(sum, s[i]);
		if(x<=n) ++f[x];
	}
	for(int i=n; i; --i) for(int j=i<<1; j<=n; j+=i) f[j]+=f[i], d[j].push_back(i);
	ans=g[1]=1;
	for(int i=2; i<=n; ++i) if(f[i]==i){
		for(int j:d[i]) (g[i]+=g[j])%=P;
		(ans+=g[i])%=P;
	}
	return printf("%d", ans), 0;
}